Descuento simple y compuesto

formula_descuento_simple.png
 
Si considero que C=M –D
 
C = capital líquido luego del descuento
M = monto o valor del cheque
D = n*d*M
d = tasa de descuento
n = unidades de tiempo
sustituyendo en la fórmula:  C = M - n*d * M = M (1 –n*d)

por lo que: C= M (1 –n*d)
 
Aplicaciones
 
- Hallar el valor líquido de un cheque de U$S 10.000 que vence dentro de 30 días descontado al 4% anual.

C= 10.000 ( 1 – (4%/12)) = U$S 6.667

- Hallar el valor líquido de un conforme (es un documento por el cual una persona se compromete a abonar a otra, una suma a una determinada fecha) de $ 6.000 que paga un 5% de interés y vence a los tres meses, si el tipo de descuento es del 6%.
 
Primero determino el monto a descontar, que es la cantidad a pagar dentro de tres meses a interés simple.
Aplico la fórmula de interés simple M = C(1 + n*i)
M = 6.000(1+(1/4*0.05))=6.075
La cantidad a pagar dentro de tres meses es 6.075
Ahora deberé descontar $ 6.075 por tres meses al 6%
Aplico la fórmula:  C= M (1 –n*d)
C= 6.075(1-(1/4*0.06)) =U$S 5.983.9
 
Tasas de interés simple y de descuento simple equivalentes
 
Un tipo de descuento simple y una tasa de interés simple con los cuales se obtienen resultados iguales, se dice que son “equivalentes”. 
 
Ejemplo:
Si una persona se presenta en un banco a descontar un conforme por $ 7.000 que vence en tres meses siendo la tasa de descuento del 5% anual. Qué tasa de interés gana el  banco por esa operación, dado que entrega una cantidad de dinero hoy al cliente por el descuento y recupera una cantidad mayor dentro de tres meses.
 
Solución: el banco le resta al cliente un descuento de:
$7.000*1/4*0.05= $ 87.5 y en consecuencia, le entrega a quien se presentó a descontar el documento, un líquido de $ 7.000 -87.5= $ 6912,5
En consecuencia, el banco gana una cantidad de $ 87.5.sobre un capital de 6.912.5, que en definitiva presta durante tres meses,
El interés ganado es entonces: 87.5/6912.5 = 1.265823 % en tres meses, que al año (multiplicado por 4 trimestres) implica una tasa de interés del 5.06% . Por lo tanto un descuento del 5% anual sobre un conforme a tres meses equivale a una tasa de interés anual del 5.06%
 
Se puede deducir a partir de este ejemplo, una fórmula para vincular tasa de descuento simple y de interés simple equivalentes.
 
Descuento que resta el banco al cliente:   D = M*n*d
 
Importe líquido que entrega el banco a la persona que se presenta a descontar el conforme: M – M*n*d, es decir M (1 – n*d)
El banco gana M*n*d sobre un desembolso de M * (1 – n*d), por lo que  la ganancia del banco es de : M*n*d / M *(1 – n*d). Si suprimo M de ambos, numerador y denominador, no altera los resultados y la ganancia del banco podrá expresarse como: n*d / (1 – n*d) y esto es justamente la tasa de interés i . se trata de la ganancia ganada en n años.
 
Entonces, en un año, tendré que dividir la ganancia entre n años:
 
n *d *1/n / (1- n*d), con lo cual, queda que:
 
formula_8_descuento.png

si de esta fórmula se despeja la d en lugar de la i, tenemos que:
 
formula_9_descuento.png
 
Descuento compuesto
 
La diferencia entre el monto a pagar y su valor actual, obtenido utilizado interés compuesto, se conoce con el nombre de descuento compuesto. Este descuento se calcula hallando el valor actual , que luego se le resta al monto a pagar al vencimiento.
 
D = M – C
D= descuento
M= Monto
C= capital o valor actual
 
D = M – M / (1+i)n , y sustituyendo en la fòrmula: D = M * (1-Vn)
 
Aplicaciones:
 
I) ¿Cuál es el descuento al 5% de interés compuesto anual, sobre un préstamo de $ 12.000 a pagar dentro de 5 años?
 
Solución: Aplicando la fórmula anterior: D= 12.000*(1- 1/(1.05)5) = 2.598
 
II) El Sr. XX desea vender una casa de su propiedad, cuyo valor hoy es de $ 750.000. y recibe dos ofertas: una de $ 500.000 al contado y $ 500.000 a pagar en 5 años y otra de $ 500.000 al contado y $ 1.000.000 a pagar en 10 años. Se hipoteca la propiedad por el saldo impago en ambas ofertas y la tasa de interés capitalizable es del 15% anual ¿Cuál es la mejor oferta?
 
Solución: debo hallar los valores actuales de cada oferta y compararlos. Hallar los valores actuales de cada oferta permite comparar cifras valoradas en un mismo momento del tiempo.
 
Valor actual oferta 1= 500.000 + 500.000/(1+0.15)5   =748.588
Valor actual oferta 2= 500.000 + 1.000.000 / (1+0.15)10 =747.185
 
Es más conveniente la oferta 1, por tener un mayor valor actual.
 
Tasas de interés compuesto y de descuento compuesto equivalentes
 
Dos tasas de interés y descuento se dicen equivalentes cuando producen los mismos resultados. La tasa de interés se define como la cifra que se paga por el uso del dinero sobre el dinero recibido efectivamente en préstamo. Es así que si la tasa es el 5%, cada $100 de dinero que recibo, pago $5 de interés en un año. La tasa de interés es entonces del 5%, es decir 5/100, lo que equivale a  0.05 ó 5%. Por su parte, en una operación de descuento por un año sobre $1 que recibiré al año, si los recibo hoy, percibiré (1-d) siendo d la cantidad que se descuenta.
Si yo coloco (1-d) a una tasa de interés tal que obtenga 1 en un año, ¿cuál es la tasa de interés que hace que (1-d) colocado a esa tasa de interés, me dé $1 en un año?
 
Aplicando fórmula ya vista
M=C(1+i)n
1= (1-d)(1+i)1  factoreando 1+i = 1/(1-d) por lo que i= 1/(1-d) -1, que es lo mismo que (1-1+d)/1-d por lo cual se llega a la siguiente  fórmula de tasas equivalentes de descuento y de interés considerando un período de un año:
 
formula_10_descuento.png

esta razón también puede expresarse como:
 
formula_11_descuento.png

i= tasa anual efectiva de interés compuesto
d= tasa anual efectiva de descuento compuesto
 
Aplicaciones
 
- para una tasa de descuento del 5% anual en operaciones que se realizarán en un horizonte temporal de tres años, a qué tasa efectiva de interés, capitalizable anualmente, equivale?

Aplicando la fórmula: i= d/(1-d), en este caso i= 0.05/(1-0.05)= 0.05263, por lo cual, una tasa de descuento del 5%, con capitalización anual equivale a otra de interés del 5.263% capitalizado anualmente.
 
- ¿qué tasa de descuento compuesto anual, es equivalente a otra de interés del 6%, capitalizable anualmente?
 
Aplicando la fórmula vista: d=i/(1+i), d= 0.06/(1+0.06)= 0,05660377. por lo cual, una tasa de interés del 6% capitalizable anualmente es equivalente a una tasa de descuento compuesto de 5.66% anual.