Fórmula para calcular interés y monto compuesto

 
A continuación se brindan algunas explicaciones, ejemplos de aplicación y alternativas de resolución de problemas que se le pueden presentar.
Del ejemplo visto  es posible deducir una fórmula, ya que en términos generales, el monto compuesto se puede escribir como:
 
formula2_for.png

Donde:
M es la suma de capital más intereses al final del período
C es el capital inicial
i% es la tasa de interés compuesto
n es el número de períodos durante los cuales se capitaliza el interés compuesto
 
¿Cómo calcular una incógnita?
 
La fórmula vista contiene cuatro cantidades y permite el cálculo del monto a  interés compuesto. Si se conocen los valores de tres de esas cantidades, puede hallarse el valor de la cuarta, simplemente despejando y haciendo cuentas.
Para el cálculo de la fórmula de interés compuesto, también es posible aplicar tablas o calculadoras con función potencia o calculadoras financieras o planillas de cálculo del tipo Excel con función potencia, etc. Las tablas, que se pueden encontrar en librerías, exponen resueltos diferentes montos compuestos para distintas tasas de interés compuesto a las que se colocaría $1 durante determinados períodos.
 
Ejemplos y aplicaciones:
 
I ) Una persona está obligada a saldar una deuda de $ 50.000 exactamente dentro de tres años. ¿Cuánto tendría que invertir hoy a interés compuesto al 6% anual, para llegar a disponer de esa cantidad dentro de tres años y cumplir con el pago de su deuda?
 
Solución:
Aplicando la fórmula M=C(1+i)n, despejaremos la incógnita que, en este caso es la C, es decir, el capital que hoy debería invertir a interés compuesto para obtener $ 50.000, dentro de tres años.
 
M= $50.000
n=3
C= incógnita.
i= 0.06
Invirtiendo la ecuación y dividiendo ambos miembros de la igualdad por (1+i)n, obtenemos que:
C= M / (1+i)n
 
Sustituyendo en la fórmula las cifras que se conocen:
C = 50.000 / (1+0.06)3 = 50.000 / 1.191016 = 41.981
 
Es decir que alguien que disponga hoy de $ 41.981 y lo invierta con un rendimiento del 6% a interés compuesto, durante tres años, al cabo de esos tres años, tendrá: $ 50.000.
 
II) Del mismo modo, otro problema que es posible plantearse es ¿cuál es el interés compuesto sobre $ 15.000 al 4% anual durante 5 años?
 
Solución:
De aplicar la fórmula  M = C(1+i)n surgirá que el interés compuesto es la diferencia entre el capital C, que se invierte al 4% anual durante cinco años y el monto M, que se desconoce. Se deberá hallar en primer término el monto M, es decir, la cifra a la que se llegará, invirtiendo  $ 15.000 durante 5 años al 4%.
 
M= 15.000 (1.04)5=18250
 
El monto de interés compuesto surge como diferencia entre el monto compuesto y el capital inicial y en este caso asciende a $ 3.250, es decir: 18.250-15.000=3.250
 
III) En ocasiones es posible plantearse cuál sería el monto compuesto, es decir por ejemplo, cuánto tendré al cabo de seis meses en el caso de invertir hoy $ 10.000 al 5% anual.
 
Solución:
Aplicando la fórmula M = C(1+i)n ,despejaremos la incógnita que, en este caso es la M.
 
M= incógnita
n=1/2  porque se trata de seis meses y la tasa es anual
i%= 0.05
C = 10.000
 
Aplicando la fórmula entonces: M = 10.000*(1+0.05)0.5 = 10.000 (1.05) ½ = lo que es lo mismo que 10000 = 10.000 * 1,02469508 = 10.247 con lo cual si se dispone hoy de $ 10.000 y se coloca durante seis meses al 5% anual, se obtiene dentro de seis meses, la suma de $ 10.247.
 
IV) Si se dispone de dos opciones para invertir un capital de $ 10.000. Una de ellas implica colocar un dinero durante 2 años al 3% de interés compuesto y la otra,  colocar ese mismo dinero a 1 año al 5% anual de interés compuesto. ¿cuál es la opción de mayor monto?
 
Solución:
 
Aplicando la fórmula M = C(1+i)n, la primer opción me genera, para un capital de 10.000 que invierto hoy, un monto de $ 10.609 al cabo de 2 años. La segunda opción, implica que, al cabo de 1 año obtendré un monto de $ 10.500
 
Primera opción:  M=10.000 (1.03)2= 10.609
Segunda opción:  M=10.000 (1.05)1= 10.500
  
V) Si alguien deposita $ 5.000 en un banco que paga el 6% de interés anual, ¿cuántos años  tienen que pasar para obtener un monto superior a $ 8.500.
Solución:
Aplicando la fórmula M = C(1+i)n,
   8500= 5.000 (1.06)n es lo mismo que:
   8.500/5.000= (1.06)n
A los efectos de resolver este problema, se aplicará la siguiente tabla con el objetivo  de ilustrar sobre el uso y aplicaciones de la misma:
 

TABLA: Monto compuesto de 1 a interés compuesto
Basado en la fórmula M=C*(1+i)n
 
formula_2.png

 
Es decir 1.06n = 8.500/5.000, con lo cual, 1.70 = (1.06)n entonces para obtener un monto superior a 8500, me debo fijar en la tabla, en la columna del 6%, cuántos años debo colocar $1 al 6% anual para obtener un monto superior a $1.70. El resultado son 10 años. En efecto, colocando 5000 al 6% durante 10 años me dará un monto compuesto de: 5.000*(1.06)10 = 8.954.
 
Este ejercicio pudo haber sido resuelto con una calculadora que tenga la función potencia, o con una calculadora financiera o a través de una planilla electrónica de cálculo.
 
VI) Determinar a qué tasa es preciso colocar durante nueve años un capital de 5.000 para obtener una cifra mayor a $ 6.500.
 
Solución:
Utilizando la tabla, y aplicando la fórmula M=C*(1+i)n
 
6.500= 5.000 (1+i)9,  lo que equivale a decir que 1.30= (1+i)9, por lo que i es al menos de 3%, según surge de la tabla.
 
En resumen: Se llama tasa de interés compuesto al proceso de ir acumulando al capital los intereses que éste produce, de forma que los intereses produzcan intereses a su vez.